Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ có...

Nhận xét: Số cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ bằng số cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$ cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với trục hoành.
Đặt $g\left( x \right)=\left| 2f\left( x \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right|,\forall x\in \mathbb{R}$ và $h\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$.
Ta có: ${h}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2\left( x-1 \right)\Rightarrow {h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x-1\left( * \right)$
Dựa vào đồ thị, nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ là hoành độ giao điểm của đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ và đường thẳng $y=x-1$, ta có: $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-1 \\
x=1 \\
x=2 \\
x=3 \\
\end{matrix} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$ như sau:

Ta có: $h\left( 2 \right)=2f\left( 2 \right)-{{\left( 2-1 \right)}^{2}}<0$ vì $f\left( 2 \right)<\dfrac{1}{2}$
$h\left( -3 \right)=2f\left( -3 \right)-{{\left( -3-1 \right)}^{2}}<0$ vì $f\left( -3 \right)>8$
$h\left( 4 \right)=2f\left( 4 \right)-{{\left( 4-1 \right)}^{2}}<0$ vì $f\left( 4 \right)>\dfrac{9}{2}$
Suy ra $h\left( x \right)=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}\in \left( -3;-1 \right)$ và ${{x}_{2}}\in \left( 3;4 \right)$.
Suy ra $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có đúng $5$ điểm cực trị.