Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ có...

Xét hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-{(x-1)}^2$ ta có $g^{\prime }\left(x\right)=2f^{\prime }\left(x\right)-2(x-1)=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=x-1$
Vẽ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ và $y=x-1$ trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy $f^{\prime }\left(x\right)=x-1\iff x=-1$, $x=1,x=2,x=3$ (trong đó $x=1$ là nghiệm kép) ta có BBT sau:

Khi đó hàm số $g\left(x\right)$ có số điểm cực trị là $m=3$.
Lại có $g(-3)=2f(-3)-16=2[f(-3)-8]>0,\text{ g}\left(4\right)=2f\left(4\right)-9>0$ và $g\left(2\right)=2f\left(2\right)-1<0$.
Do đó phương trình $g\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt nên $n=2$.
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|g\left(x\right)\right|=|2f\left(x\right)-{(x-1)}^2|$ bằng $m+n=5$.