Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$, có đồ...

Phương pháp:
- Tính đạo hàm hàm số $g\left( x \right).~$
- Giải phương trình $g'(x=0.~$
- Lập BBT của hàm số g(x) và suy ra điểm cực tiểu của hàm số,
Cách giải:
Ta có: $g(x)=f\left( {{x}^{3}}+x \right)\Rightarrow {{g}^{\prime }}(x)=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{f}^{\prime }}\left( {{x}^{3}}+x \right)$
$g'(x)-0\Leftrightarrow \left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{f}^{\prime }}\left( {{x}^{3}}+x \right)-0\Leftrightarrow {{f}^{\prime }}\left( {{x}^{3}}+x \right)-0$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị $x=0,x=2.~$
Do đó ${{f}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{3}}+x=0 \\
{{x}^{3}}+x=2 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=1 \\
\end{array} \right. \right.$.
Chọn $x=2$ ta có $g'(2)=13{{f}^{\prime }}(10)<0$ các nghiệm $x=0,x=1$ là các nghiệm đơn nên qua các nghiệm này $g'\left( x \right)$ đổi dấu.
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy điểm cực tiểu của hàm số $y=g(x)\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }{{x}_{0}}=0\in (-1;1)$.