Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}.$ Biết rằng hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của...

Đặt $t=x^2-2x$ (với $t\ge -1),$ phương trình (*) trở thành: $f^{\prime }\left(t\right)-(t-1)=0\iff f^{\prime }\left(t\right)=t-1\left(1\right)$

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ và đồ thị đường thẳng $\left(d\right):y=x-1$
$\Rightarrow$ Tập nghiệm của phương trình $\left(1\right)$ là $\{-1;1;2;3\}$
* $t=-1\Rightarrow x^2-2x=-1\iff {(x-1)}^2=0\iff x-1=0\iff x=1$
* $t=1\Rightarrow x^2-2x=1\iff {(x-1)}^2=2\iff x-1=\pm \sqrt{2}\iff x=\pm \sqrt{2}+1$
* $t=2\Rightarrow x^2-2x=2\iff {(x-1)}^2=3\iff x-1=\pm \sqrt{3}\iff x=\pm \sqrt{3}+1$
* $t=3\Rightarrow x^2-2x=3\iff {(x-1)}^2=4\iff x-1=\pm 2\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=3\end{array}$
$\Rightarrow$ Phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0$ có 6 nghiệm đơn là $x=-1;x=\pm \sqrt{2}+1;x=\pm \sqrt{3}+1;x=3$ và có 1 nghiệm bội lẻ là $x=1.$
Vậy hàm số $g\left(x\right)=f(x^2-2x)-({\displaystyle \frac{x^4}{2}}-2x^3+x^2+2x+1)$ có 7 điểm cực trị.