Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}.$ Biết rằng hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của...

Đặt $t={{x}^{2}}-2x$ (với $t\ge -1),$ phương trình (*) trở thành: $f'\left( t \right)-\left( t-1 \right)=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=t-1\left( 1 \right)$

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ và đồ thị đường thẳng $\left( d \right):y=x-1$
$\Rightarrow $ Tập nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là $\left\{ -1;1;2;3 \right\}$
* $t=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=-1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$
* $t=1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow x-1=\pm \sqrt{2}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}+1$
* $t=2\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=2\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow x-1=\pm \sqrt{3}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}+1$
* $t=3\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=3\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow x-1=\pm 2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm đơn là $x=-1;x=\pm \sqrt{2}+1;x=\pm \sqrt{3}+1;x=3$ và có 1 nghiệm bội lẻ là $x=1.$
Vậy hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{2}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x+1 \right)$ có 7 điểm cực trị.