Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên đoạn $\left[...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên đoạn

[0; \frac{π}{2}]

thỏa mãn

\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{π - 2}{2}

. Tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

bằng
A.

\frac{π}{4}

.
B. 0.
C.

\frac{π}{2}

.
D. 1.

Đặt

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x

.
Ta có

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x

\Leftrightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x

Có

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [1 - \cos (2 x - \frac{π}{2})] d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [1 - \sin 2 x] d x = {(x + \frac{1}{2} \cos 2 x)}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π - 2}{2}

Mà

I = \frac{π - 2}{2} \Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x = 0 (1)

Vì

y = {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2}

liên tục và không âm nên

\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x \geq 0

Dấu '=' xảy ra

\Leftrightarrow f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4}) = 0

.

\Leftrightarrow f (x) = \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})

\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4}) d x = 0

.

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn $\left[...