Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định là liên tục trên...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống:
Đặt $t=5-2\sqrt{1+3\cos x}\left( 1 \right)$.
Ta có: ${t}'=\dfrac{3\sin x}{\sqrt{1+3\cos x}}=0\Rightarrow x=0$.


Nhận xét:
+ Với $\left[ \begin{aligned}
& t>3 \\
& t<1 \\
\end{aligned} \right. $, suy ra phương trình (1) không có nghiệm thuộc $ \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$.
+ Với $t=1$, suy ra phương trình (1) có một nghiệm thuộc $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$.
+ Với $1<t\le 3$, suy ra phương trình (1) có hai nghiệm thuộc $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$.
Lúc đó, phương trình đã cho trở thành $f\left( t \right)=\dfrac{3m-10}{7}$.
Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thì $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{3m-10}{7}=-4 \\
& -2<\dfrac{3m-10}{7}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-6 \\
& -\dfrac{4}{3}<m\le \dfrac{10}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -6;-1;0;1;2;3 \right\}$.
Vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Ta có $7.f\left( 5-2\sqrt{1+3\cos x} \right)=3m-10\Leftrightarrow f\left( 5-2\sqrt{1+3\cos x} \right)=\dfrac{3m-10}{7}\left( 1 \right)$.
Đặt $u=5-2\sqrt{1+3\cos x}$ với $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$.
Ta có: ${u}'=-2.\dfrac{-3\sin x}{2\sqrt{1+3\cos x}}=\dfrac{3\sin x}{\sqrt{1+3\cos x}}=0\Rightarrow x=0$ (do $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$ )
Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( u \right)$


Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt thì:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{3m-10}{7}=-4 \\
& -2<\dfrac{3m-10}{7}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-6 \\
& -\dfrac{4}{3}<m\le \dfrac{10}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -6;-1;0;1;2;3 \right\}$.
Vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện bài toán.