Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định là liên tục trên...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống:
Đặt $t=5-2\sqrt{1+3\cos x}\left(1\right)$.
Ta có: $t^{\prime }={\displaystyle \frac{3\sin x}{\sqrt{1+3\cos x}}}=0\Rightarrow x=0$.


Nhận xét:
+ Với $[\begin{array}{rl}& t>3\\ & t<1\end{array}$, suy ra phương trình (1) không có nghiệm thuộc $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.
+ Với $t=1$, suy ra phương trình (1) có một nghiệm thuộc $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.
+ Với $1<t\le 3$, suy ra phương trình (1) có hai nghiệm thuộc $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.
Lúc đó, phương trình đã cho trở thành $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{3m-10}{7}}$.
Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thì $\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{3m-10}{7}}=-4\\ & -2<{\displaystyle \frac{3m-10}{7}}\le 0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=-6\\ & -{\displaystyle \frac{4}{3}}<m\le {\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-6;-1;0;1;2;3\}$.
Vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Ta có $7.f(5-2\sqrt{1+3\cos x})=3m-10\iff f(5-2\sqrt{1+3\cos x})={\displaystyle \frac{3m-10}{7}}\left(1\right)$.
Đặt $u=5-2\sqrt{1+3\cos x}$ với $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.
Ta có: $u^{\prime }=-2.{\displaystyle \frac{-3\sin x}{2\sqrt{1+3\cos x}}}={\displaystyle \frac{3\sin x}{\sqrt{1+3\cos x}}}=0\Rightarrow x=0$ (do $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ )
Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left(u\right)$


Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt thì:
$\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{3m-10}{7}}=-4\\ & -2<{\displaystyle \frac{3m-10}{7}}\le 0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=-6\\ & -{\displaystyle \frac{4}{3}}<m\le {\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-6;-1;0;1;2;3\}$.
Vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện bài toán.