Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: ${{\left[ f\left( -x+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ f\left( x+2 \right) \right]}^{3}}=10\text{x}$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
A. $y=2\text{x}-5$
B. $y=2\text{x}-3$
C. $y=-2x+5$
D. $y=-2\text{x}+3$
A. $y=2\text{x}-5$
B. $y=2\text{x}-3$
C. $y=-2x+5$
D. $y=-2\text{x}+3$
Từ ${{\left[ f\left( -x+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ f\left( x+2 \right) \right]}^{3}}=10\text{x}$ (*), cho $x=0$ ta có
${{\left[ f\left( 2 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ f\left( 2 \right) \right]}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)=0 \\
& f\left( 2 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đạo hàm hai vế của (*) ta được:
$-2f\left( -x+2 \right).{f}'\left( -x+2 \right)+3{{\left[ f\left( x+2 \right) \right]}^{2}}.{f}'\left( x+2 \right)=10$.
Cho $x=0$ ta được $-2f\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right)+3{{\left[ f\left( 2 \right) \right]}^{2}}.{f}'\left( 2 \right)=10\Leftrightarrow f\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right).\left[ 3f\left( 2 \right)-2 \right]=10$ (**).
Nếu $f\left( 2 \right)=0$ thì (**) vô lý.
Nếu $f\left( 2 \right)=-1$, khi đó (**) trở thành: $-{f}'\left( 2 \right).\left( -3-2 \right)=10\Leftrightarrow {f}'\left( 2 \right)=2$
Phương trình tiếp tuyến $y=2\left( x-2 \right)-1\Leftrightarrow y=2\text{x}-5$.
${{\left[ f\left( 2 \right) \right]}^{2}}+{{\left[ f\left( 2 \right) \right]}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)=0 \\
& f\left( 2 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đạo hàm hai vế của (*) ta được:
$-2f\left( -x+2 \right).{f}'\left( -x+2 \right)+3{{\left[ f\left( x+2 \right) \right]}^{2}}.{f}'\left( x+2 \right)=10$.
Cho $x=0$ ta được $-2f\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right)+3{{\left[ f\left( 2 \right) \right]}^{2}}.{f}'\left( 2 \right)=10\Leftrightarrow f\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right).\left[ 3f\left( 2 \right)-2 \right]=10$ (**).
Nếu $f\left( 2 \right)=0$ thì (**) vô lý.
Nếu $f\left( 2 \right)=-1$, khi đó (**) trở thành: $-{f}'\left( 2 \right).\left( -3-2 \right)=10\Leftrightarrow {f}'\left( 2 \right)=2$
Phương trình tiếp tuyến $y=2\left( x-2 \right)-1\Leftrightarrow y=2\text{x}-5$.
Đáp án A.