Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ và hàm số $y=g\left( x \right)={{x}^{2}}-{{m}^{2}}$, với $0<m<\sqrt{2}$ là tham số thực. Gọi ${{S}_{1}}, {{S}_{2}}, {{S}_{3}}, {{S}_{4}}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Ta có diện tích ${{S}_{1}}+{{S}_{4}}={{S}_{2}}+{{S}_{3}}$ tại ${{m}_{0}}$. Chọn mệnh đề đúng.
A. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{2}{3} \right)$.
B. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{6} \right)$.
C. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{7}{6} ; \dfrac{5}{4} \right)$.
D. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{5}{4} ; \dfrac{3}{2} \right)$.
A. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{2}{3} \right)$.
B. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{6} \right)$.
C. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{7}{6} ; \dfrac{5}{4} \right)$.
D. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{5}{4} ; \dfrac{3}{2} \right)$.
Để ý, hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ có đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó diện tích $\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{1}}={{S}_{4}} \\
& {{S}_{2}}={{S}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì vậy, yêu cầu bài toán trở thành tìm ${{m}_{0}}$ để ${{S}_{1}}={{S}_{3}}$ (1).
Gọi $a$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$, với điều kiện: $0<a<m<\sqrt{2}$.
Dựa vào đồ thị, ta có:
${{S}_{3}}=\int\limits_{0}^{a}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \right)}\text{d}x=\dfrac{{{a}^{5}}}{5}-{{a}^{3}}+a{{m}^{2}}$ (2).
${{S}_{1}}=\int\limits_{a}^{m}{\left( -{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)}\text{d}x+\int\limits_{m}^{\sqrt{2}}{\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)}\text{d}x$ $=\dfrac{{{a}^{5}}}{5}-{{a}^{3}}+a{{m}^{2}}-\dfrac{2{{m}^{3}}}{3}+\dfrac{8\sqrt{2}}{15}$ (3).
Từ (1), (2), (3) ta có:
${{S}_{3}}={{S}_{1}}\Leftrightarrow \dfrac{8\sqrt{2}}{15}-\dfrac{2}{3}{{m}^{3}}=0\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{\dfrac{4\sqrt{2}}{5}}\approx 1.04\in \left( \dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{6} \right)$.
& {{S}_{1}}={{S}_{4}} \\
& {{S}_{2}}={{S}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì vậy, yêu cầu bài toán trở thành tìm ${{m}_{0}}$ để ${{S}_{1}}={{S}_{3}}$ (1).
Gọi $a$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$, với điều kiện: $0<a<m<\sqrt{2}$.
Dựa vào đồ thị, ta có:
${{S}_{3}}=\int\limits_{0}^{a}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \right)}\text{d}x=\dfrac{{{a}^{5}}}{5}-{{a}^{3}}+a{{m}^{2}}$ (2).
${{S}_{1}}=\int\limits_{a}^{m}{\left( -{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)}\text{d}x+\int\limits_{m}^{\sqrt{2}}{\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)}\text{d}x$ $=\dfrac{{{a}^{5}}}{5}-{{a}^{3}}+a{{m}^{2}}-\dfrac{2{{m}^{3}}}{3}+\dfrac{8\sqrt{2}}{15}$ (3).
Từ (1), (2), (3) ta có:
${{S}_{3}}={{S}_{1}}\Leftrightarrow \dfrac{8\sqrt{2}}{15}-\dfrac{2}{3}{{m}^{3}}=0\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{\dfrac{4\sqrt{2}}{5}}\approx 1.04\in \left( \dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{6} \right)$.
Đáp án B.