Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^4-2x^2$ và hàm số...

Để ý, hàm số $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ có đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó diện tích $\{\begin{array}{rl}& S_1=S_4\\ & S_2=S_3\end{array}$.
Vì vậy, yêu cầu bài toán trở thành tìm $m_0$ để $S_1=S_3$ (1).
Gọi $a$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$, với điều kiện: $0<a<m<\sqrt{2}$.
Dựa vào đồ thị, ta có:
$S_3=\underset{0}{\overset{a}{\int }}(x^4-3x^2+m^2)\text{d}x={\displaystyle \frac{a^5}{5}}-a^3+a{m}^2$ (2).
$S_1=\underset{a}{\overset{m}{\int }}(-x^4+3x^2-m^2)\text{d}x+\underset{m}{\overset{\sqrt{2}}{\int }}(-x^4+2x^2)\text{d}x$ $={\displaystyle \frac{a^5}{5}}-a^3+a{m}^2-{\displaystyle \frac{2m^3}{3}}+{\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{15}}$ (3).
Từ (1), (2), (3) ta có:
$S_3=S_1\iff {\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{15}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{m}^3=0\iff m=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{5}}}\approx 1.04\in ({\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{7}{6}})$.