Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị $\left( C \right)$ đồng thời có 2 điểm cực trị là $-1;1.$ Biết parabol $\left( P \right):y=g(x)=m{{x}^{2}}+nx+p$ đi qua hai điểm cực trị của $\left( C \right)$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( c;p \right)$ thỏa mãn $c+p\le 10$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $\left( P \right):y=g(x)$ và đồ thị $\left( C \right)$ có diện tích bằng 8?
A. $10$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $6$.
A. $10$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $6$.
Do hai đồ thị đều đi qua các điểm cực trị của $\left( C \right)$ nên phương trình hoành độ giao điểm chắc chắn đã có các nghiệm $x=\pm 1$.
Do vậy ta có $f(x)-g(x)=({{x}^{2}}-1)(x-k)={{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k$
Trường hợp 1: Nếu $k\ge 1$
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{-1}^{k}{\left| {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right|dx=}\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx-\int\limits_{-1}^{k}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx \\
& \Rightarrow S=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{-1}^{1}-\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{1}^{k} \\
& \Rightarrow S=\dfrac{{{k}^{4}}-6{{k}^{2}}+24k-3}{12}=8\Rightarrow k=3 \\
\end{aligned}$
Khi đó: $f(x)-g(x)={{x}^{3}}+(a-m){{x}^{2}}+(b-n)x+c-p={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3\Rightarrow c-p=3$
Kết hợp $c+p\le 10$ ta được $\left( c;p \right)=\left( 4;1 \right)=\left( 5;2 \right)=\left( 6;3 \right)$.
Trường hợp 2: Nếu $k\le -1$
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{k}^{1}{\left| {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right|dx=}\int\limits_{k}^{-1}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx-\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx \\
& \Rightarrow S=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{k}^{-1}-\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{-1}^{1} \\
& \Rightarrow S=\dfrac{{{k}^{4}}-6{{k}^{2}}-24k-3}{12}=8\Rightarrow k=-3 \\
\end{aligned}$
Khi đó: $f(x)-g(x)={{x}^{3}}+(a-m){{x}^{2}}+(b-n)x+c-p={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-3\Rightarrow c-p=-3$
Kết hợp $c+p\le 10$ ta được $\left( p;c \right)=\left( 4;1 \right)=\left( 5;2 \right)=\left( 6;3 \right)$
Trường hợp 3: Nếu $-1<k<1$
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right|dx=}\int\limits_{-1}^{k}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx-\int\limits_{k}^{1}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx \\
& \Rightarrow S=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{-1}^{k}-\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{k}^{1} \\
& \Rightarrow S=\dfrac{-{{k}^{4}}}{12}+{{k}^{2}}+\dfrac{1}{2}=8 (vo nghiem) \\
\end{aligned}$
Vậy có $6$ cặp số nguyên dương $\left( c;p \right)$ thỏa mãn.
Do vậy ta có $f(x)-g(x)=({{x}^{2}}-1)(x-k)={{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k$
Trường hợp 1: Nếu $k\ge 1$
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{-1}^{k}{\left| {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right|dx=}\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx-\int\limits_{-1}^{k}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx \\
& \Rightarrow S=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{-1}^{1}-\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{1}^{k} \\
& \Rightarrow S=\dfrac{{{k}^{4}}-6{{k}^{2}}+24k-3}{12}=8\Rightarrow k=3 \\
\end{aligned}$
Khi đó: $f(x)-g(x)={{x}^{3}}+(a-m){{x}^{2}}+(b-n)x+c-p={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3\Rightarrow c-p=3$
Kết hợp $c+p\le 10$ ta được $\left( c;p \right)=\left( 4;1 \right)=\left( 5;2 \right)=\left( 6;3 \right)$.
Trường hợp 2: Nếu $k\le -1$
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{k}^{1}{\left| {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right|dx=}\int\limits_{k}^{-1}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx-\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx \\
& \Rightarrow S=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{k}^{-1}-\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{-1}^{1} \\
& \Rightarrow S=\dfrac{{{k}^{4}}-6{{k}^{2}}-24k-3}{12}=8\Rightarrow k=-3 \\
\end{aligned}$
Khi đó: $f(x)-g(x)={{x}^{3}}+(a-m){{x}^{2}}+(b-n)x+c-p={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-3\Rightarrow c-p=-3$
Kết hợp $c+p\le 10$ ta được $\left( p;c \right)=\left( 4;1 \right)=\left( 5;2 \right)=\left( 6;3 \right)$
Trường hợp 3: Nếu $-1<k<1$
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right|dx=}\int\limits_{-1}^{k}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx-\int\limits_{k}^{1}{\left( {{x}^{3}}-k{{x}^{2}}-x+k \right)}dx \\
& \Rightarrow S=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{-1}^{k}-\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+kx \right) \right|_{k}^{1} \\
& \Rightarrow S=\dfrac{-{{k}^{4}}}{12}+{{k}^{2}}+\dfrac{1}{2}=8 (vo nghiem) \\
\end{aligned}$
Vậy có $6$ cặp số nguyên dương $\left( c;p \right)$ thỏa mãn.
Đáp án D.