Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ với $f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=1.$ Biết rằng: $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right]dx=ae+b,}$
$a,b\in \mathbb{Z}.$ Giá trị biểu thức ${{a}^{2019}}+{{b}^{2019}}$ bằng
A. ${{2}^{2018}}+1.$
B. $2.$
C. $0.$
D. ${{2}^{2018}}-1.$
$a,b\in \mathbb{Z}.$ Giá trị biểu thức ${{a}^{2019}}+{{b}^{2019}}$ bằng
A. ${{2}^{2018}}+1.$
B. $2.$
C. $0.$
D. ${{2}^{2018}}-1.$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f'\left( x \right)dx} \left( 1 \right)$
Lại có $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f'\left( x \right)dx}=\left( {{e}^{x}}f\left( x \right) \right)\left| _{0}^{1} \right.-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f\left( x \right)dx}=e-1-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f\left( x \right)dx} \left( 2 \right)$
Thế $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right]dx}=e-1$. Suy ra $a=1;b=-1$ nên $a+b=0$.
Lại có $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f'\left( x \right)dx}=\left( {{e}^{x}}f\left( x \right) \right)\left| _{0}^{1} \right.-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f\left( x \right)dx}=e-1-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f\left( x \right)dx} \left( 2 \right)$
Thế $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right]dx}=e-1$. Suy ra $a=1;b=-1$ nên $a+b=0$.
Đáp án C.