Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ với đạo hàm ${f}'\left( x...

Ta có: ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2mx+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=-1 \\
{{x}^{2}}+2mx+5=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng $1$ điểm cực trị $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0$ chỉ có đúng một nghiệm bội lẻ.
TH1: ${{x}^{2}}+2mx+5=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5\le 0\Leftrightarrow -\sqrt{5}\le m\le \sqrt{5}$
$\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$
TH2: ${{x}^{2}}+2mx+5=0$ có nghiệm là $-1$ $\Leftrightarrow -2m+6=0\Leftrightarrow m=3$.
Với $m=3$, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+6x+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 & \text{(b }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ i ch }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ n)} \\
x=-1 & \text{(b }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ i ch }\!\!{\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_2}\!\!\text{ n)} \\
x=-5 & \text{(b }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ i l }\!\!\hat{\mathrm{I}}\!\!\text{ )} \\
\end{matrix} \right.$.
Suy ra $m=3$ thỏa mãn yêu cầu.
Vậy $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3 \right\}$.