Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ nhận giá...

Phương pháp:
Sử dụng công thức $\int{\dfrac{{{u}^{\prime }}(x)}{u(x)}}dx=\int{\dfrac{1}{u(x)}}d(u(x))=\ln |u(x)|+C$
Cách giải:
Xét các hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$, có: $g(x)=-x.{{f}^{\prime }}(x),f(x)=-x.{{g}^{\prime }}(x)$
$\Rightarrow f(x)+g(x)=-x\cdot {{(f(x)+g(x))}^{\prime }}\Leftrightarrow \dfrac{{{(f(x)+g(x))}^{\prime }}}{f(x)+g(x)}=-\dfrac{1}{x}$
$\Rightarrow \int_{1}^{4}{\dfrac{{{(f(x)+g(x))}^{\prime }}}{f(x)+g(x)}}dx=\int_{1}^{4}{\left( -\dfrac{1}{x} \right)}dx$
$\left. \Leftrightarrow \ln |f(x)+g(x)| \right|_{1}^{4}=-\left. \ln |x| \right|_{1}^{4}$
$\Leftrightarrow \ln |f(4)+g(4)|-\ln |f(1)+g(1)|=-\ln 4+\ln 1$
$\Leftrightarrow \ln |f(4)+g(4)|-\ln 4=-\ln 4$
$\Leftrightarrow \ln |f(4)+g(4)|=0$
$\Leftrightarrow |f(4)+g(4)|=1$
Mà các hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ nhận giá trị dương, nên $f\left( 4 \right)+g\left( 4 \right)=1.~$