Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ và $f\left( x \right)>0,\ \forall x\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ và $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{137}{16}$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)={{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}.f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
A. 4040.
B. 4041.
C. 2019.
D. 2020.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)={{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}.f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
A. 4040.
B. 4041.
C. 2019.
D. 2020.
Ta có: $\begin{aligned}
& \ \ \ \ \ g'\left( x \right)=\left( -2x+4m \right).{{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}.f\left( x \right)+{{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}.f'\left( x \right) \\
& \Leftrightarrow g'\left( x \right)=\left[ \left( -2x+4m \right).f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right].{{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}. \\
\end{aligned}$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$ và $g'\left( x \right)=0$ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
$\Leftrightarrow \left( -2x+4m \right).f\left( x \right)+f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$ (vì ${{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}>0$ )
$\Leftrightarrow -2x+4m\ge -\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)},\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right),$ (vì $f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ )
$\Leftrightarrow 4m\ge 2x-\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)},\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)\ \ \ \left( * \right).$
Xét $h\left( x \right)=2x-\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)},\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right).$
Ta có $h'\left( x \right)=2-\dfrac{f''\left( x \right).f\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{f}^{2}}x}.$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& f''\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow \dfrac{f''\left( x \right).f\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{f}^{2}}(x)}<0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right).$
Từ đó suy ra $h'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Bảng biến thiên:
Vậy điều kiện $\left( * \right)\Leftrightarrow 4m\ge h\left( \dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow 4m\ge 2.\left( \dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{f'\left( \dfrac{1}{2} \right)}{f\left( \dfrac{1}{2} \right)}\Leftrightarrow 4m\ge \dfrac{225}{137}\Leftrightarrow m\ge \dfrac{225}{548}$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2020;2020 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;...;2020 \right\}.$
Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
& \ \ \ \ \ g'\left( x \right)=\left( -2x+4m \right).{{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}.f\left( x \right)+{{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}.f'\left( x \right) \\
& \Leftrightarrow g'\left( x \right)=\left[ \left( -2x+4m \right).f\left( x \right)+f'\left( x \right) \right].{{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}. \\
\end{aligned}$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$ và $g'\left( x \right)=0$ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
$\Leftrightarrow \left( -2x+4m \right).f\left( x \right)+f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$ (vì ${{e}^{-{{x}^{2}}+4mx-5}}>0$ )
$\Leftrightarrow -2x+4m\ge -\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)},\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right),$ (vì $f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ )
$\Leftrightarrow 4m\ge 2x-\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)},\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)\ \ \ \left( * \right).$
Xét $h\left( x \right)=2x-\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)},\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right).$
Ta có $h'\left( x \right)=2-\dfrac{f''\left( x \right).f\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{f}^{2}}x}.$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& f''\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow \dfrac{f''\left( x \right).f\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{f}^{2}}(x)}<0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right).$
Từ đó suy ra $h'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Bảng biến thiên:
Vậy điều kiện $\left( * \right)\Leftrightarrow 4m\ge h\left( \dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow 4m\ge 2.\left( \dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{f'\left( \dfrac{1}{2} \right)}{f\left( \dfrac{1}{2} \right)}\Leftrightarrow 4m\ge \dfrac{225}{137}\Leftrightarrow m\ge \dfrac{225}{548}$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2020;2020 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;...;2020 \right\}.$
Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.