Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ và $f\left( x \right)>0,\ \forall...

Ta có: $\begin{array}{rl}& g^{\prime }\left(x\right)=(-2x+4m).e^{-x^2+4mx-5}.f\left(x\right)+e^{-x^2+4mx-5}.f^{\prime }\left(x\right)\\ & \iff g^{\prime }\left(x\right)=[(-2x+4m).f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)].e^{-x^2+4mx-5}.\end{array}$
Yêu cầu bài toán $\iff g^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$ và $g^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc $(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$.
$\iff (-2x+4m).f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$ (vì $e^{-x^2+4mx-5}>0$ )
$\iff -2x+4m\ge -{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}},\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}),$ (vì $f\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ )
$\iff 4m\ge 2x-{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}},\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})(\ast ).$
Xét $h\left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}},\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}).$
Ta có $h^{\prime }\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{f^{″}\left(x\right).f\left(x\right)-{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}{f^{2}x}}.$
Mà $\{\begin{array}{rl}& f^{″}\left(x\right)<0\\ & f\left(x\right)>0\end{array},\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})\Rightarrow {\displaystyle \frac{f^{″}\left(x\right).f\left(x\right)-{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}{f^2(x)}}<0,\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}).$
Từ đó suy ra $h^{\prime }\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$.
Vậy hàm số $h\left(x\right)$ đồng biến trên $(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$.
Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện $(\ast )\iff 4m\ge h\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\iff 4m\ge 2.\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}}\iff 4m\ge {\displaystyle \frac{225}{137}}\iff m\ge {\displaystyle \frac{225}{548}}$.
Mà $\{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{Z}\\ & m\in [-2020;2020]\end{array}\Rightarrow m\in \{1;2;3;...;2020\}.$
Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.