Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, trong đó $f\left( x \right)$ là một đa thức. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $\left( -3;3 \right)$ để hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-\left| x \right|+m-1 \right)$ có ít nhất 7 điểm cực trị.
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Hàm số $y=g\left( x \right)$ là hàm số chẵn có ít nhất 7 cực trị
$\Leftrightarrow y=f\left( {{x}^{2}}-x+m-1 \right)$ có ít nhất 3 cực trị dương.
Ta có ${y}'=\left( 2x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x+m-1 \right)=0$ (Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ).
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2} \\
& {{x}^{2}}-x+m-1=1 \\
& {{x}^{2}}-x+m-1=-1 \\
& {{x}^{2}}-x+m-1=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Riêng trường hợp ${{x}^{2}}-2x+m=2$ là sẽ có nghiệm bội chẵn nên không xét.
Xét $-{{x}^{2}}+x+2=m$ ; $-{{x}^{2}}+x=m$ ; $-{{x}^{2}}+x-1=m$.
Từ các đồ thị suy ra $m\in \left\{ 0;-1;-2 \right\}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
$\Leftrightarrow y=f\left( {{x}^{2}}-x+m-1 \right)$ có ít nhất 3 cực trị dương.
Ta có ${y}'=\left( 2x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x+m-1 \right)=0$ (Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ).
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2} \\
& {{x}^{2}}-x+m-1=1 \\
& {{x}^{2}}-x+m-1=-1 \\
& {{x}^{2}}-x+m-1=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Riêng trường hợp ${{x}^{2}}-2x+m=2$ là sẽ có nghiệm bội chẵn nên không xét.
Xét $-{{x}^{2}}+x+2=m$ ; $-{{x}^{2}}+x=m$ ; $-{{x}^{2}}+x-1=m$.
Đáp án D.