Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn hệ thức $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)\sin xdx}=-f\left( x \right)\cos x+\int\limits_{{}}^{{}}{{{\pi }^{x}}\cos xdx}$. Hỏi hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. $f\left( x \right)=-{{\pi }^{x}}\ln \pi $.
B. $f\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }$.
C. $f\left( x \right)={{\pi }^{x}}\ln \pi $.
D. $f\left( x \right)=-\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }$.
A. $f\left( x \right)=-{{\pi }^{x}}\ln \pi $.
B. $f\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }$.
C. $f\left( x \right)={{\pi }^{x}}\ln \pi $.
D. $f\left( x \right)=-\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }$.
Hệ thức $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)\sin xdx}=-f\left( x \right)\cos x+\int\limits_{{}}^{{}}{{{\pi }^{x}}\cos xdx}$ $\left( 1 \right)$.
Xét $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)\sin xdx}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right)\Rightarrow du={f}'\left( x \right) \\
& dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x \\
\end{aligned} \right.$
Ta được $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)\sin xdx}=-f\left( x \right)\cos x+\int\limits_{{}}^{{}}{{f}'\left( x \right)\cos xdx}$.
Theo hệ thức $\left( 1 \right)$, suy ra ${f}'\left( x \right)={{\pi }^{2}}$.
Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là $f\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{\ln \pi }$.
Xét $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)\sin xdx}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right)\Rightarrow du={f}'\left( x \right) \\
& dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x \\
\end{aligned} \right.$
Ta được $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)\sin xdx}=-f\left( x \right)\cos x+\int\limits_{{}}^{{}}{{f}'\left( x \right)\cos xdx}$.
Theo hệ thức $\left( 1 \right)$, suy ra ${f}'\left( x \right)={{\pi }^{2}}$.
Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là $f\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{\ln \pi }$.
Đáp án B.