Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ thỏa mãn $f\left(2 \right)=-\dfrac{4}{19}$ và $f'\left(x \right)={{x}^{3}}{{f}^{2}}\left(x \right)\forall x\in \mathbb{R}.$ Giá trị của $f\left(1 \right)$ bằng:
A. $-\dfrac{2}{3}$
B. $-\dfrac{1}{2}$
C. -1
D. $-\dfrac{3}{4}$
A. $-\dfrac{2}{3}$
B. $-\dfrac{1}{2}$
C. -1
D. $-\dfrac{3}{4}$
Phương pháp:
- Biến đổi $\dfrac{f'\left(x \right)}{{{f}^{2}}\left(x \right)}={{x}^{3}}\forall x\in \mathbb{R},$ sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.
- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm: $\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{du}{{{u}^{2}}}=-\dfrac{1}{u}+C.}$
- Sử dụng giả thiết $f\left(2 \right)=-\dfrac{4}{19}$ để tìm hằng số $C,$ từ đó tính $f\left(1 \right).$
Cách giải:
Theo bài ra ta có: $f'\left(x \right)={{x}^{3}}{{f}^{2}}\left(x \right)\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \dfrac{f'\left(x \right)}{{{f}^{2}}\left(x \right)}={{x}^{3}}\forall x\in \mathbb{R}.$
Lấy nguyên hàm hai vế ta có: $\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{f'\left(x \right)}{{{f}^{2}}\left(x \right)}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{3}}dx}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{f\left(x \right)}=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+C.$
Lại có: $f\left(2 \right)=-\dfrac{4}{19}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{f\left(2 \right)}=4+C\Leftrightarrow \dfrac{19}{4}=4+C\Leftrightarrow C=\dfrac{3}{4}.$
Do đó $-\dfrac{1}{f\left(x \right)}=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{3}{4}.$
Thay $x=1$ ta có $-\dfrac{1}{f\left(1 \right)}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1.$ Vậy $f\left(1 \right)=-1.$
- Biến đổi $\dfrac{f'\left(x \right)}{{{f}^{2}}\left(x \right)}={{x}^{3}}\forall x\in \mathbb{R},$ sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.
- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm: $\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{du}{{{u}^{2}}}=-\dfrac{1}{u}+C.}$
- Sử dụng giả thiết $f\left(2 \right)=-\dfrac{4}{19}$ để tìm hằng số $C,$ từ đó tính $f\left(1 \right).$
Cách giải:
Theo bài ra ta có: $f'\left(x \right)={{x}^{3}}{{f}^{2}}\left(x \right)\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \dfrac{f'\left(x \right)}{{{f}^{2}}\left(x \right)}={{x}^{3}}\forall x\in \mathbb{R}.$
Lấy nguyên hàm hai vế ta có: $\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{f'\left(x \right)}{{{f}^{2}}\left(x \right)}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{3}}dx}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{f\left(x \right)}=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+C.$
Lại có: $f\left(2 \right)=-\dfrac{4}{19}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{f\left(2 \right)}=4+C\Leftrightarrow \dfrac{19}{4}=4+C\Leftrightarrow C=\dfrac{3}{4}.$
Do đó $-\dfrac{1}{f\left(x \right)}=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{3}{4}.$
Thay $x=1$ ta có $-\dfrac{1}{f\left(1 \right)}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1.$ Vậy $f\left(1 \right)=-1.$
Đáp án C.