Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( -2 \right)=3 ...

Có ${{3}^{f\left( x \right)+m}}\le 4f\left( x \right)+1+4m\Leftrightarrow {{3}^{f\left( x \right)+m}}-4\left( f\left( x \right)+m \right)-1\le 0$.
Đặt $t=f\left( x \right)+m$, bất phương trình trở thành : ${{3}^{t}}-4t-1\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 2\Leftrightarrow 0\le f\left( x \right)+m\le 2.$
Vậy $ycbt\Leftrightarrow $ $0\le f\left( x \right)+m\le 2, \forall x\in \left[ -2 ; 2 \right]$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -2 ; 2 \right]}{\mathop{\min }} \left( f\left( x \right)+m \right)\ge 0 \\
& \underset{\left[ -2 ; 2 \right]}{\mathop{\max }} \left( f\left( x \right)+m \right)\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ -2 ; 2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)+m\ge 0 \\
& \underset{\left[ -2 ; 2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)+m\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2+m\ge 0 \\
& 3+m\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le -1. \\
& \\
& \\
\end{aligned}$
Dựa vào bảng xét dấu của ${f}'\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0 ; 5 \right]$ như sau:
Suy ra ${{\min }_{\left[ 0 ; 5 \right]}}=f\left( x \right)=f\left( 2 \right). $ Và ${{\max }_{\left[ 0 ; 5 \right]}}f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right),f\left( 5 \right) \right\}$.
Ta có $f\left( 0 \right)+f\left( 3 \right)=f\left( 2 \right)+f\left( 5 \right)\Leftrightarrow f\left( 5 \right)-f\left( 0 \right)=f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)$.
Vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 2 ; 5 \right]$ nên $f\left( 3 \right)>f\left( 2 \right)\Rightarrow f\left( 5 \right)-f\left( 0 \right)>0\Rightarrow f\left( 5 \right)>f\left( 0 \right)$.
Vậy ${{\max }_{\left[ 0 ; 5 \right]}}f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( 0 \right), f\left( 5 \right) \right\}=f\left( 5 \right)$.