Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ thỏa mãn $f\left(2 \right)=16$ và $\int\limits_{0}^{2}{f\left(x \right)dx}=4.$ Tính $\int\limits_{0}^{1}{x...

Phương pháp:
- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, đặt $t=2x.$
- Tính tích phân bằng phương pháp từng phần: $\int\limits_{a}^{b}{udv}=uv\left| \begin{aligned}
& b \\
& a \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{a}^{b}{vdu.}$
- Sử dụng tính chất tích phân: $\int\limits_{a}^{b}{f\left(x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left(t \right)dt}.$
Cách giải:
Đặt $t=2x\Rightarrow dt=2dx.$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right., $ khi đó ta có: $ \int\limits_{0}^{1}{x. F'\left(2x \right)dx}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}{tf'\left(t \right)dt}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=t \\
& dv=f'\left(t \right)dt \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dt \\
& v=f\left(t \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{tf'\left(t \right)dt}=tf\left(t \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{2}{f\left(t \right)dt}$
$\begin{aligned}
& =2f\left(2 \right)-\int\limits_{0}^{2}{f\left(x \right)dx} \\
& =2.16-4=28 \\
\end{aligned}$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{x. F'\left(2x \right)dx}=\dfrac{1}{4}. 28=7.$