Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)<\dfrac{7}{6}$ và có bảng biến thiên như sau
Giá trị lớn nhất của m để phương trình ${{e}^{2{{f}^{3}}\left( x \right)-\dfrac{13}{12}{{f}^{2}}\left( x \right)+7f\left( x \right)-\dfrac{1}{2}}}=m$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ là
A. ${{e}^{2}}$.
B. ${{e}^{\dfrac{15}{13}}}$.
C. ${{e}^{4}}$.
D. ${{e}^{3}}$.
Giá trị lớn nhất của m để phương trình ${{e}^{2{{f}^{3}}\left( x \right)-\dfrac{13}{12}{{f}^{2}}\left( x \right)+7f\left( x \right)-\dfrac{1}{2}}}=m$ có nghiệm trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ là
A. ${{e}^{2}}$.
B. ${{e}^{\dfrac{15}{13}}}$.
C. ${{e}^{4}}$.
D. ${{e}^{3}}$.
Đặt $f\left( x \right)=t$, $x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow t=f\left( x \right)\in \left[ 1;\dfrac{7}{6} \right)$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=2{{t}^{3}}-\dfrac{13}{2}{{t}^{2}}+7t-\dfrac{1}{2}$ trên $\left[ 1;\dfrac{7}{6} \right)$, ta có: ${g}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}-13t+7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=\dfrac{7}{6} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra, $g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;\dfrac{7}{6} \right)$ hay $g\left( t \right)\le g\left( 1 \right)=2$
Suy ra, ${{e}^{2{{f}^{3}}\left( x \right)-\dfrac{13}{2}{{f}^{2}}\left( x \right)+7f\left( x \right)-\dfrac{1}{2}}}=m\le {{e}^{2}}$
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm của m là ${{e}^{2}}$
Xét hàm số $g\left( t \right)=2{{t}^{3}}-\dfrac{13}{2}{{t}^{2}}+7t-\dfrac{1}{2}$ trên $\left[ 1;\dfrac{7}{6} \right)$, ta có: ${g}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}-13t+7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=\dfrac{7}{6} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra, $g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;\dfrac{7}{6} \right)$ hay $g\left( t \right)\le g\left( 1 \right)=2$
Suy ra, ${{e}^{2{{f}^{3}}\left( x \right)-\dfrac{13}{2}{{f}^{2}}\left( x \right)+7f\left( x \right)-\dfrac{1}{2}}}=m\le {{e}^{2}}$
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm của m là ${{e}^{2}}$
Đáp án A.