Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f\left( 0...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

thỏa mãn

f (0) = 0; {f}' (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}

. Họ nguyên hàm của hàm số

g (x) = 4 x f (x)

là:
A.

(x^{2} + 1) \ln (x^{2}) - x^{2} + c

B.

x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2}

C.

(x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + c

D.

(x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - x^{2}

Ta có:

f^{'} (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} \Rightarrow f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int \frac{x dx}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2} \int \frac{d (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C

f (0) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)

\Rightarrow g (x) = 4 x f (x) = 2 x \ln (x^{2} + 1) \Rightarrow \int g (x) d x = \int 2 x \ln (x^{2} + 1) d x

Đặt

t = x^{2} + 1 \Rightarrow d t = 2 xdx

\Rightarrow \int g (x) d x = \int \ln t d t = t \ln t - \int t . \frac{1}{t} d t = t \ln t - \int d t = t \ln t - t + C

= (x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) + C

Đặt

- 1 + C = c \Rightarrow \int g (x) d x = (x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + c

.

Đáp án C.

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $f\left( 0...