Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn ${{2020}^{f\left( x...

Ta có: ${{2020}^{f\left( x \right)}}=x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( x \right)={{\log }_{2020}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020} \right)$
Mặt khác ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ nên hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ do đó $f\left( \log m \right)<f\left( {{\log }_{m}}2020 \right)\Leftrightarrow \log m<{{\log }_{m}}2020\Leftrightarrow \log m<{{\log }_{m}}.20.\log 2020$
Đặt $t=\log m$ ta được $t<\dfrac{\log 2020}{t}\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-\log 2020}{t}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<-\sqrt{\log 2020} \\
& 0<t<\sqrt{\log 2020} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& \log m<-\sqrt{\log 2020} \\
& 0<\log m<\sqrt{\log 2020} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<m<0,015... \\
& 1<m<65,77 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 2;3;4;...65 \right\}$ nên có 64 giá trị của tham số m.