Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn ${{2020}^{f\left( x...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

thỏa mãn

2020^{f (x)} = x + \sqrt{x^{2} + 2020} (\forall x \in R)

. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn

f (\log m) < f (\log_{m} 2020)

?
A. 66
B. 65
C. 63
D. 64

Ta có:

2020^{f (x)} = x + \sqrt{x^{2} + 2020} (\forall x \in R) \Rightarrow f (x) = \log_{2020} (x + \sqrt{x^{2} + 2020})

Mặt khác

f^{'} (x) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2020}}}{x + \sqrt{x^{2} + 2020}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2020}} > 0 (\forall x \in R)

nên hàm số

f (x)

đồng biến trên

R

do đó

f (\log m) < f (\log_{m} 2020) \Leftrightarrow \log m < \log_{m} 2020 \Leftrightarrow \log m < \log_{m} .20 . \log 2020

Đặt

t = \log m

ta được

t < \frac{\log 2020}{t} \Leftrightarrow \frac{t^{2} - \log 2020}{t} < 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} t < - \sqrt{\log 2020} \\ 0 < t < \sqrt{\log 2020} \end{aligned}

.
Suy ra

[\begin{aligned} \log m < - \sqrt{\log 2020} \\ 0 < \log m < \sqrt{\log 2020} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} 0 < m < 0, 015. . . \\ 1 < m < 65, 77 \end{aligned}

Kết hợp

m \in Z \Rightarrow m = {2; 3; 4; . . .65}

nên có 64 giá trị của tham số m.

Đáp án D.

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn ${{2020}^{f\left( x...