Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\left[ f\left( x \right)-x \right]f\left( x \right)={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+2{{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$. Giá trị của $3M-m$ bằng
A. $4$.
B. $-28$.
C. $-3$.
D. $33$.
Ta có $\left[ f\left( x \right)-x \right]f\left( x \right)={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-xf\left( x \right)={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4{{f}^{2}}\left( x \right)-4xf\left( x \right)+{{x}^{2}}=4{{x}^{6}}+12{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{\left[ 2f\left( x \right)-x \right]}^{2}}={{\left( 2{{x}^{3}}+3x \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x \\
& f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-x \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-x$.
Vì $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên $M=\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=-2$ và $m=\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-10$.
Từ đây ta suy ra $3M-m=4$.
A. $4$.
B. $-28$.
C. $-3$.
D. $33$.
Ta có $\left[ f\left( x \right)-x \right]f\left( x \right)={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-xf\left( x \right)={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4{{f}^{2}}\left( x \right)-4xf\left( x \right)+{{x}^{2}}=4{{x}^{6}}+12{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{\left[ 2f\left( x \right)-x \right]}^{2}}={{\left( 2{{x}^{3}}+3x \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x \\
& f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-x \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-x$.
Vì $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên $M=\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=-2$ và $m=\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=-10$.
Từ đây ta suy ra $3M-m=4$.
Đáp án A.