Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right)$.Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( a-1 \right)+f\left( \ln a \right)\le 0$
A. $\left[ 0;1 \right]$.
B. $\left( 0;1 \right]$.
C. $\left[ 1;+\infty \right)$.
D. $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: $f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right)$. Suy ra ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}>0$ $\Rightarrow $ $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right) \\
& f\left( -x \right)=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-x \right)=\ln \left( \dfrac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x} \right)=-\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -f\left( x \right)=f\left( -x \right)$.
$\Rightarrow $ $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ. Lại có: $f\left( a-1 \right)+f\left( \ln a \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( \ln a \right)\le -f\left( a-1 \right)$
Do $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và là hàm đồng biến nên $f\left( \ln a \right)\le f\left( 1-a \right)\Leftrightarrow \ln a\le 1-a$
$\Leftrightarrow \ln a+a\le 1$.
Xét hàm số $g\left( a \right)=\ln a+a$ (điều kiện: $a>0$ ). Có ${g}'\left( a \right)=\dfrac{1}{a}+1=\dfrac{1+a}{a}>0,\forall a>0$.
$\Rightarrow g\left( a \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
$\Rightarrow g\left( a \right)\le g\left( 1 \right), \forall a\le 1\Leftrightarrow \ln a+a\le a\Leftrightarrow \ln a\le 0\Leftrightarrow a\le 1$
Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 0<a\le 1$.
A. $\left[ 0;1 \right]$.
B. $\left( 0;1 \right]$.
C. $\left[ 1;+\infty \right)$.
D. $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: $f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right)$. Suy ra ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}>0$ $\Rightarrow $ $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right) \\
& f\left( -x \right)=\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-x \right)=\ln \left( \dfrac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x} \right)=-\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -f\left( x \right)=f\left( -x \right)$.
$\Rightarrow $ $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ. Lại có: $f\left( a-1 \right)+f\left( \ln a \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( \ln a \right)\le -f\left( a-1 \right)$
Do $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và là hàm đồng biến nên $f\left( \ln a \right)\le f\left( 1-a \right)\Leftrightarrow \ln a\le 1-a$
$\Leftrightarrow \ln a+a\le 1$.
Xét hàm số $g\left( a \right)=\ln a+a$ (điều kiện: $a>0$ ). Có ${g}'\left( a \right)=\dfrac{1}{a}+1=\dfrac{1+a}{a}>0,\forall a>0$.
$\Rightarrow g\left( a \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
$\Rightarrow g\left( a \right)\le g\left( 1 \right), \forall a\le 1\Leftrightarrow \ln a+a\le a\Leftrightarrow \ln a\le 0\Leftrightarrow a\le 1$
Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 0<a\le 1$.
Đáp án B.