Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục và xác định trên...

Dựa vào đồ thị, suy ra bảng biến thiên hàm số $y=f\left(x\right)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $f\left(2\right)<f\left(x\right)<f(-1)$, $\mathrm{\forall }x\in (-1;2)$
Đặt $t=f\left(x\right)+m\Rightarrow f\left(2\right)+m<t<f(-1)+m$, $\mathrm{\forall }x\in (-1;2)$.
Bất phương trình đã cho trở thành: $3^t+4^t\le 5t+2\iff 3^t+4^t-5t-2\le 0$ $\left(1\right)$
Xét phương trình: $3^t+4^t-5t-2=0\iff \{\begin{array}{rl}& t=0\\ & t=1\end{array}$.
Ta có bảng xét dấu biểu thức $f\left(t\right)=3^t+4^t-5t-2$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: $\left(1\right)\iff 0\le t\le 1\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& f\left(2\right)+m\ge 0\\ & f(-1)+m\le 1\end{array}\Rightarrow -f\left(2\right)\le m\le 1-f(-1)$