Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ
Bất phương trình ${{3}^{f\left( x \right)+m}}+{{4}^{f\left( x \right)+m}}\le 5f\left( x \right)+2+5m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;2 \right)$ khi và chỉ khi?
A. $-f\left( -1 \right)<m<1-f\left( 2 \right)$.
B. $-f\left( 2 \right)<m<1-f\left( -1 \right)$.
C. $-f\left( 2 \right)<m<1-f\left( -1 \right)$.
D. $-f\left( 2 \right)\le m\le 1-f\left( -1 \right)$.
Bất phương trình ${{3}^{f\left( x \right)+m}}+{{4}^{f\left( x \right)+m}}\le 5f\left( x \right)+2+5m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;2 \right)$ khi và chỉ khi?
A. $-f\left( -1 \right)<m<1-f\left( 2 \right)$.
B. $-f\left( 2 \right)<m<1-f\left( -1 \right)$.
C. $-f\left( 2 \right)<m<1-f\left( -1 \right)$.
D. $-f\left( 2 \right)\le m\le 1-f\left( -1 \right)$.
Dựa vào đồ thị, suy ra bảng biến thiên hàm số $y=f\left( x \right)$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $f\left( 2 \right)<f\left( x \right)<f\left( -1 \right)$, $\forall x\in \left( -1;2 \right)$
Đặt $t=f\left( x \right)+m\Rightarrow f\left( 2 \right)+m<t<f\left( -1 \right)+m$, $\forall x\in \left( -1;2 \right)$.
Bất phương trình đã cho trở thành: ${{3}^{t}}+{{4}^{t}}\le 5t+2\Leftrightarrow {{3}^{t}}+{{4}^{t}}-5t-2\le 0$ $\left( 1 \right)$
Xét phương trình: ${{3}^{t}}+{{4}^{t}}-5t-2=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng xét dấu biểu thức $f\left( t \right)={{3}^{t}}+{{4}^{t}}-5t-2$
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 0\le t\le 1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)+m\ge 0 \\
& f\left( -1 \right)+m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -f\left( 2 \right)\le m\le 1-f\left( -1 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $f\left( 2 \right)<f\left( x \right)<f\left( -1 \right)$, $\forall x\in \left( -1;2 \right)$
Đặt $t=f\left( x \right)+m\Rightarrow f\left( 2 \right)+m<t<f\left( -1 \right)+m$, $\forall x\in \left( -1;2 \right)$.
Bất phương trình đã cho trở thành: ${{3}^{t}}+{{4}^{t}}\le 5t+2\Leftrightarrow {{3}^{t}}+{{4}^{t}}-5t-2\le 0$ $\left( 1 \right)$
Xét phương trình: ${{3}^{t}}+{{4}^{t}}-5t-2=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng xét dấu biểu thức $f\left( t \right)={{3}^{t}}+{{4}^{t}}-5t-2$
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 0\le t\le 1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)+m\ge 0 \\
& f\left( -1 \right)+m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -f\left( 2 \right)\le m\le 1-f\left( -1 \right)$
Đáp án B.