Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ
Để phương trình ${{e}^{{{f}^{3}}\left( x \right)+2{{f}^{2}}\left( x \right)-7f\left( x \right)+5}}+\ln \left[ f\left( x \right)+\dfrac{1}{f\left( x \right)} \right]=m$ có nghiệm thì giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m là bao nhiêu?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Để phương trình ${{e}^{{{f}^{3}}\left( x \right)+2{{f}^{2}}\left( x \right)-7f\left( x \right)+5}}+\ln \left[ f\left( x \right)+\dfrac{1}{f\left( x \right)} \right]=m$ có nghiệm thì giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m là bao nhiêu?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Dựa vào đồ thị, suy ra $1\le f\left( x \right)\le 5$.
Đặt $t=f\left( x \right)$ (với $1\le t\le 5$ ), phương trình đã cho trở thành: ${{e}^{{{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-7t+5}}+\ln \left( t+\dfrac{1}{t} \right)=m$.
Xét hàm số $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( t \right)={{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-7t+5 \\
& h\left( t \right)=t+\dfrac{1}{t} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4t-7\ge 0,\forall t\in \left[ 1;5 \right]\Rightarrow 1\le g\left( t \right)\le 145 \\
& {h}'\left( t \right)=1-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}\ge 0,\forall t\in \left[ 1;5 \right]\Rightarrow 2\le h\left( t \right)\le \dfrac{26}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy hàm số $u\left( t \right)={{e}^{{{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-7t+5}}+\ln \left( t+\dfrac{1}{t} \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;5 \right]$.
Để phương trình có nghiệm thì $e+\ln 2\le m\le {{e}^{145}}+\ln \dfrac{26}{5}$.
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là: 4.
Đặt $t=f\left( x \right)$ (với $1\le t\le 5$ ), phương trình đã cho trở thành: ${{e}^{{{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-7t+5}}+\ln \left( t+\dfrac{1}{t} \right)=m$.
Xét hàm số $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( t \right)={{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-7t+5 \\
& h\left( t \right)=t+\dfrac{1}{t} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4t-7\ge 0,\forall t\in \left[ 1;5 \right]\Rightarrow 1\le g\left( t \right)\le 145 \\
& {h}'\left( t \right)=1-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}\ge 0,\forall t\in \left[ 1;5 \right]\Rightarrow 2\le h\left( t \right)\le \dfrac{26}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy hàm số $u\left( t \right)={{e}^{{{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-7t+5}}+\ln \left( t+\dfrac{1}{t} \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;5 \right]$.
Để phương trình có nghiệm thì $e+\ln 2\le m\le {{e}^{145}}+\ln \dfrac{26}{5}$.
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là: 4.
Đáp án B.