Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và nhận giá trị không âm trên $\left[ 1;2 \right]$ và thỏa mãn $f\left( x \right)=f\left( 1-x \right),\forall x\in \left[ -1;2 \right].$ Đặt ${{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{2}{xf\left( x \right)\text{d}x}$, ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=-1,x=2$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. ${{S}_{1}}=2{{S}_{2}}$.
B. ${{S}_{1}}=3{{S}_{2}}$.
C. $2{{S}_{1}}={{S}_{2}}$.
D. $3{{S}_{1}}={{S}_{2}}$.
A. ${{S}_{1}}=2{{S}_{2}}$.
B. ${{S}_{1}}=3{{S}_{2}}$.
C. $2{{S}_{1}}={{S}_{2}}$.
D. $3{{S}_{1}}={{S}_{2}}$.
Ta có ${{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{2}{xf\left( x \right)\text{d}x}$.
Đặt $t=1-x\Rightarrow \text{d}t=-\text{d}x$.
Đổi cận $x=-1\Rightarrow t=2; x=2\Rightarrow t=-1$.
Suy ra ${{S}_{1}}=\int\limits_{2}^{-1}{\left( 1-t \right)f\left( 1-t \right)\left( -\text{d}t \right)}$ $=\int\limits_{-1}^{2}{\left( 1-t \right)f\left( t \right)\text{d}t}$
$=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t}-\int\limits_{-1}^{2}{tf\left( t \right)\text{d}t}$ $=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}-\int\limits_{-1}^{2}{xf\left( x \right)\text{d}x}$ $={{S}_{2}}-{{S}_{1}}$.
Vậy $2{{S}_{1}}={{S}_{2}}$.
Đặt $t=1-x\Rightarrow \text{d}t=-\text{d}x$.
Đổi cận $x=-1\Rightarrow t=2; x=2\Rightarrow t=-1$.
Suy ra ${{S}_{1}}=\int\limits_{2}^{-1}{\left( 1-t \right)f\left( 1-t \right)\left( -\text{d}t \right)}$ $=\int\limits_{-1}^{2}{\left( 1-t \right)f\left( t \right)\text{d}t}$
$=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t}-\int\limits_{-1}^{2}{tf\left( t \right)\text{d}t}$ $=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}-\int\limits_{-1}^{2}{xf\left( x \right)\text{d}x}$ $={{S}_{2}}-{{S}_{1}}$.
Vậy $2{{S}_{1}}={{S}_{2}}$.
Đáp án C.