Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và đồng biến trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right],$ bất phương trình $f\left( x \right)>\ln \left( \cos x \right)-{{e}^{\pi x}}+m$ thỏa mãn với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 0 \right)+1.$
B. $m>f\left( 0 \right)-1.$
C. $m<f\left( 0 \right)+1.$
D. $m\ge f\left( 0 \right)+1.$
A. $m\le f\left( 0 \right)+1.$
B. $m>f\left( 0 \right)-1.$
C. $m<f\left( 0 \right)+1.$
D. $m\ge f\left( 0 \right)+1.$
Ta có $f\left( x \right)>\ln \left( \operatorname{cosx} \right)-{{e}^{\pi x}}+m,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow m<f\left( x \right)-\ln \left( \cos x \right)+{{e}^{\pi x}},\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\left( * \right)$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$
Hàm số $g\left( x \right)=-\ln \left( \cos x \right)$ có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{\sin x}{\cos x}>0,\forall x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
Hàm số $h\left( x \right)={{e}^{\pi x}}$ có ${h}'\left( x \right)=\pi {{e}^{\pi x}}>0,\forall x\Rightarrow h\left( x \right)={{e}^{\pi x}}$ đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right].$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)-\ln \left( \cos x \right)+{{e}^{\pi x}}$ đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 0 \right)+g\left( 0 \right)+h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+1.$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$
Hàm số $g\left( x \right)=-\ln \left( \cos x \right)$ có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{\sin x}{\cos x}>0,\forall x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
Hàm số $h\left( x \right)={{e}^{\pi x}}$ có ${h}'\left( x \right)=\pi {{e}^{\pi x}}>0,\forall x\Rightarrow h\left( x \right)={{e}^{\pi x}}$ đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right].$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)-\ln \left( \cos x \right)+{{e}^{\pi x}}$ đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 0 \right)+g\left( 0 \right)+h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+1.$
Đáp án A.