Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 2 \right)=-2$ ; $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=1}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{-1}^{3}{{f}'\left( \sqrt{x+1} \right)dx}$
A. $I=-5$.
B. $I=0$.
C. $I=-18$.
D. $I=-10$.
A. $I=-5$.
B. $I=0$.
C. $I=-18$.
D. $I=-10$.
Đặt $\sqrt{x+1}=t\Rightarrow x+1={{t}^{2}}\Rightarrow dx=2tdt$
Đổi cận:
$x=-1\Rightarrow t=0;x=3\Rightarrow t=2$
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{{f}'\left( t \right)2tdt=}\int\limits_{0}^{2}{2x{f}'\left( x \right)2dx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=2x \\
& dv={f}'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=\left. 2x.{f}'\left( x \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{2f\left( x \right)dx}=4.\left( -2 \right)-2.1=-10$
Đổi cận:
$x=-1\Rightarrow t=0;x=3\Rightarrow t=2$
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{{f}'\left( t \right)2tdt=}\int\limits_{0}^{2}{2x{f}'\left( x \right)2dx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=2x \\
& dv={f}'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=\left. 2x.{f}'\left( x \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{2f\left( x \right)dx}=4.\left( -2 \right)-2.1=-10$
Đáp án D.