Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, có đồ thị như hình vẽ. Với $m$ là tham số bất kì thuộc $\left[ 0;1 \right]$. Phương trình $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)=3\sqrt{m}+4\sqrt{1-m}$ có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 9.
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 9.
Đặt $k=3\sqrt{m}+4\sqrt{1-m}\xrightarrow[{}]{m\in \left[ 0;1 \right]}3\le k\le 5$
Đặt $t\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$, có ${t}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x;{t}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên như hình bên dưới
Phương trình trở thành $f\left( t \right)=k$ với $k\in \left[ 3;5 \right]$
Dựa vào đồ thị, ta được $\left[ \begin{aligned}
& t=a>0\text{ }\left( 1 \right) \\
& t=b\in \left( -4;0 \right)\text{ }\left( 2 \right) \\
& t=x<-4\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào BBT, ta được (1), (3) có một nghiệm; (2) có ba nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm $x$.
Bài toán biện luận nghiệm của một phương trình dạng $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ thông qua đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cho sẵn và $y=g\left( x \right)$ là đường thẳng nằm ngang song song với trục hoành (vuông góc với trục tung).
Đặt $t\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$, có ${t}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x;{t}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên như hình bên dưới
Phương trình trở thành $f\left( t \right)=k$ với $k\in \left[ 3;5 \right]$
Dựa vào đồ thị, ta được $\left[ \begin{aligned}
& t=a>0\text{ }\left( 1 \right) \\
& t=b\in \left( -4;0 \right)\text{ }\left( 2 \right) \\
& t=x<-4\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào BBT, ta được (1), (3) có một nghiệm; (2) có ba nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm $x$.
Note 24: Phương pháp chung
Đạo hàm: ${{x}^{n}}=n.{{x}^{n-1}}$ Bài toán biện luận nghiệm của một phương trình dạng $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ thông qua đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cho sẵn và $y=g\left( x \right)$ là đường thẳng nằm ngang song song với trục hoành (vuông góc với trục tung).
Đáp án C.
