Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 2 \right)=-2;\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=1$. Tính tích phân $I=\int\limits_{-1}^{3}{f'\left( \sqrt{x+1} \right)dx}$.
A. $I=-5.$
B. $I=0.$
C. $I=-18.$
D. $I=-10.$
A. $I=-5.$
B. $I=0.$
C. $I=-18.$
D. $I=-10.$
Đặt $\sqrt{x+1}=t\Rightarrow x+1={{t}^{2}}\Rightarrow dx=2tdt$.
Đổi cận $x=-1\Rightarrow t=0;x=3\Rightarrow t=2$.
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{f'\left( t \right)2tdt}=\int\limits_{0}^{2}{2xf'\left( x \right)dx}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=2x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow I=2x.f'\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& ^{2} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{2}{2.f\left( x \right)dx}=4.\left( -2 \right)-2.1=-10$.
Đổi cận $x=-1\Rightarrow t=0;x=3\Rightarrow t=2$.
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{f'\left( t \right)2tdt}=\int\limits_{0}^{2}{2xf'\left( x \right)dx}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=2x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow I=2x.f'\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& ^{2} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{2}{2.f\left( x \right)dx}=4.\left( -2 \right)-2.1=-10$.
Đáp án D.