Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}.$ Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng xét dấu như bảng bên dưới. Bất...

Phương pháp:
- Cô lập $m$, đưa bất phương trình về dạng $g\left( x \right)\ge m$ có nghiệm $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow m\le \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right).$
- Lập luận để chứng minh hàm $g\left( x \right)$ đơn điệu trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ và suy ra $\underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right).$
Cách giải:
Ta có:
$f\left( x \right)>{{e}^{\cos x}}+m$ có nghiệm $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)-{{e}^{\cos x}}\ge m$ có nghiệm $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{\cos x}}\Rightarrow g\left( x \right)\ge m$ có nghiệm $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
$\Rightarrow m\le \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right).$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{\cos x}}$ với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+\sin x.{{e}^{\cos x}}.$
Với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ ta có $\sin x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow \sin x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow \sin x.{{e}^{\cos x}}>0\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Do đó $g'\left( x \right)>0\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$, do đó hàm số đồng biến trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right].$
$\Rightarrow \underset{\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-e.$
$\Rightarrow \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)>\underset{\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=f\left( 0 \right)-e.$
Vậy $m\le f\left( 0 \right)-e.$