Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\},$ thỏa mãn $f\left( 1...

Phương pháp:
- Từ giả thiết rút $x.$
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế tìm $f\left( x \right).$
Cách giải:
Ta có $f'\left( x \right)+x\left( {{e}^{f\left( x \right)}}+2 \right)+\dfrac{x}{{{e}^{f\left( x \right)}}}=0$
$\Rightarrow f'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}+x\left( {{e}^{f\left( x \right)}}+2 \right).{{e}^{f\left( x \right)}}+x=0$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}+x\left[ \left( {{e}^{f\left( x \right)}}+2 \right).{{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]=0$
$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{f\left( x \right)}} \right]}^{\prime }}+x{{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow x=-\dfrac{{{\left[ {{e}^{f\left( x \right)}} \right]}^{\prime }}}{{{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right)}^{2}}}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\int\limits_{{}}^{{}}{xdx}=\int\limits_{{}}^{{}}{-\dfrac{{{\left[ {{e}^{f\left( x \right)}} \right]}^{\prime }}}{{{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{-\dfrac{{{\left[ {{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]}^{\prime }}}{{{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right)}^{2}}}dx}\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C=\dfrac{1}{{{e}^{f\left( x \right)}}+1}$
Mà $f\left( 1 \right)=0\Rightarrow \dfrac{1}{2}+C=\dfrac{1}{{{e}^{0}}+1}\Leftrightarrow C=0$
Suy ra $\dfrac{{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{1}{{{e}^{f\left( x \right)}}+1}\Rightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}+1=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}-1\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left( \dfrac{2}{{{x}^{2}}}-1 \right).$
Vậy $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\ln \left( \dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}-1 \right)=\ln 7.$