Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $f\left( x \right)>0 \forall x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn
$\ln f\left( x \right)+f\left( x \right)-1=\ln \left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}}} \right]$.Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx}$
A. $I=-12$
B. $I=8$
C. $I=12$
D. $I=\dfrac{3}{4}$
$\ln f\left( x \right)+f\left( x \right)-1=\ln \left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}}} \right]$.Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx}$
A. $I=-12$
B. $I=8$
C. $I=12$
D. $I=\dfrac{3}{4}$
Ta có: $\ln f\left( x \right)+f\left( x \right)-1=\ln \left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}}} \right]\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)+f\left( x \right)-1=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+\ln {{e}^{{{x}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)+f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+{{x}^{2}}+1$
Xét hàm số $g\left( t \right)=\ln t+t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$ ta có: ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+1>0\forall t>0$
Do đó hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ suy ra $g\left( \left[ f\left( x \right) \right] \right)=g\left( {{x}^{2}}+1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+x \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{3}{4}$.
$\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)+f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+{{x}^{2}}+1$
Xét hàm số $g\left( t \right)=\ln t+t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$ ta có: ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+1>0\forall t>0$
Do đó hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ suy ra $g\left( \left[ f\left( x \right) \right] \right)=g\left( {{x}^{2}}+1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+x \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{aligned}
& ^{1} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{3}{4}$.
Đáp án D.