Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a>0$. Giả sử rằng với mọi $x\in \left[ 0;a \right]$, ta có $f\left( x \right)>0$ và $f\left( x \right)f\left( a-x \right)=1$. Tính $I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{\text{d}x}{1+f\left( x \right)}}$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $2a$.
C. $\dfrac{a}{3}$.
D. $a\ln \left( a+1 \right)$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $2a$.
C. $\dfrac{a}{3}$.
D. $a\ln \left( a+1 \right)$.
Từ giả thiết, suy ra $f\left( a-x \right)=\dfrac{1}{f\left( x \right)}$.
Đặt $t=a-x\xrightarrow{{}}dt=-dx$. Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\xrightarrow{{}}t=a \\
& x=a\xrightarrow{{}}t=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $I=-\int\limits_{a}^{0}{\dfrac{dt}{1+f\left( a-t \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dt}{1+\dfrac{1}{f\left( t \right)}}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( t \right)dt}{f\left( t \right)+1}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}$.
Suy ra $2I=I+I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}}+\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}=\int\limits_{0}^{a}{dx}=a\xrightarrow{{}}I=\dfrac{a}{2}$.
Cách trắc nghiệm. Chọn $a=2$ và $f\left( x \right)=1$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{\text{d}x}{1+1}}=\dfrac{1}{2}x\left| \begin{aligned}
& _{{}}^{2} \\
& _{0}^{{}} \\
\end{aligned} \right.=1=\dfrac{a}{2}.$
Đặt $t=a-x\xrightarrow{{}}dt=-dx$. Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\xrightarrow{{}}t=a \\
& x=a\xrightarrow{{}}t=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $I=-\int\limits_{a}^{0}{\dfrac{dt}{1+f\left( a-t \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dt}{1+\dfrac{1}{f\left( t \right)}}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( t \right)dt}{f\left( t \right)+1}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}$.
Suy ra $2I=I+I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}}+\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}=\int\limits_{0}^{a}{dx}=a\xrightarrow{{}}I=\dfrac{a}{2}$.
Cách trắc nghiệm. Chọn $a=2$ và $f\left( x \right)=1$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{\text{d}x}{1+1}}=\dfrac{1}{2}x\left| \begin{aligned}
& _{{}}^{2} \\
& _{0}^{{}} \\
\end{aligned} \right.=1=\dfrac{a}{2}.$
Đáp án A.