Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và...

Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ và thoả mãn điều kiện $f\left( a+b-x \right)=f\left( x \right),\forall x\left[ a;b \right].$ Khi đó $\int\limits_{a}^{b}{xf\left( x \right)dx}=\dfrac{a+b}{2}\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$.
Chứng minh:
Đặt $t=a+b-x\Rightarrow dx=-dt,$ với $x\in \left[ a;b \right].$
Đổi cận: khi $x=a\Rightarrow t=b;$ khi $x=b\Rightarrow t=b$
Ta có $\int\limits_{a}^{b}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{xf\left( a+b-x \right)dx=-\int\limits_{a}^{b}{\left( a+b-t \right)f\left( t \right)dt}}$
$=\int\limits_{a}^{b}{\left( a+b-t \right)f\left( t \right)dt}=\left( a+b \right)\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}-\int\limits_{a}^{b}{tf\left( t \right)dt=}\left( a+b \right)\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{a}^{b}{xf\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow 2\int\limits_{a}^{b}{xf\left( x \right)dx}=\left( a+b \right)\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow .$
Áp dụng tính chất trên với $a=1, b=3.$
$f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ và thoả mãn $f\left( 1+3-x \right)=f\left( x \right).$
Khi đó $\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}=\dfrac{1+3}{4}\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{5}{2}.$
Cách 2: Biến đổi trực tiếp
Đặt $t=4-x,$ với $x\in \left[ 1;3 \right].$
Ta có $\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{xf\left( 4-x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{\left( 4-t \right)f\left( t \right)dt}=4\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}-\int\limits_{1}^{3}{t.f\left( t \right)dt}$
$\Rightarrow 5=4\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}-5\Rightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{5}{2}.$