Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( 4-x \right)=f\left( x \right)$. Biết $\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)d\left( x \right)=5}$. Tính $I=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}$
A. $I=\dfrac{5}{2}$
B. $I=\dfrac{7}{2}$
C. $I=\dfrac{9}{2}$
D. $I=\dfrac{11}{2}$
A. $I=\dfrac{5}{2}$
B. $I=\dfrac{7}{2}$
C. $I=\dfrac{9}{2}$
D. $I=\dfrac{11}{2}$
Đặt $x=4-t\Rightarrow dx=-dt,\left\{ \begin{aligned}
& x=1\to t=3 \\
& x=3\to t=1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{\left( 4-t \right)f\left( 4-t \right)dt}=-\int\limits_{3}^{1}{\left( 4-t \right)f\left( 4-t \right)dt}=4\int\limits_{1}^{3}{f\left( 4-t \right)dt}-\int\limits_{1}^{3}{tf\left( 4-t \right)dt}$
$=4\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}\Rightarrow 4I-5=5\Leftrightarrow I=\dfrac{5}{2}$.
& x=1\to t=3 \\
& x=3\to t=1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{\left( 4-t \right)f\left( 4-t \right)dt}=-\int\limits_{3}^{1}{\left( 4-t \right)f\left( 4-t \right)dt}=4\int\limits_{1}^{3}{f\left( 4-t \right)dt}-\int\limits_{1}^{3}{tf\left( 4-t \right)dt}$
$=4\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)dx}\Rightarrow 4I-5=5\Leftrightarrow I=\dfrac{5}{2}$.
Đáp án A.