Google
Câu hỏi: . Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${{2.6}^{f\left( x \right)}}+\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right){{.9}^{f\left( x \right)}}-{{3.4}^{f\left( x \right)}}.m\ge \left( 2{{m}^{2}}+2m \right){{.2}^{2f\left( x \right)}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ ?
A. 3.
B. 5.
C. 6.
D. 4.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${{2.6}^{f\left( x \right)}}+\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right){{.9}^{f\left( x \right)}}-{{3.4}^{f\left( x \right)}}.m\ge \left( 2{{m}^{2}}+2m \right){{.2}^{2f\left( x \right)}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ ?
A. 3.
B. 5.
C. 6.
D. 4.
${{2.6}^{f\left( x \right)}}+\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right){{.9}^{f\left( x \right)}}-{{3.4}^{f\left( x \right)}}.m\ge \left( 2{{m}^{2}}+2m \right){{.2}^{2f\left( x \right)}},\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right){{.9}^{f\left( x \right)}}+{{2.6}^{f\left( x \right)}}-\left( 2{{m}^{2}}+5m \right){{.4}^{f\left( x \right)}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right).{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{f\left( x \right)}}+2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{f\left( x \right)}}-2{{m}^{2}}-5m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m\le \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right).{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{f\left( x \right)}}+2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{f\left( x \right)}},\forall x\in \mathbb{R}$ (1)
Đặt $t=f\left( x \right)\ge 1,\forall \text{x}\in \mathbb{R}$. (1) thành: $2{{m}^{2}}+5m\le \left( {{t}^{2}}-1 \right){{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}+2{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}},\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$
Đặt $g\left( t \right)=\left( {{t}^{2}}-1 \right).{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}+2{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}},\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( t \right)=2t.{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}+\left( {{t}^{2}}-1 \right).{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}\ln \dfrac{9}{4}+2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}\ln \dfrac{3}{2}>0,\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$
Suy ra $g\left( t \right)\ge g\left( 1 \right)=3,\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m\le 3\Leftrightarrow -3\le m\le \dfrac{1}{2}$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$ nên có 4 giá trị nguyên thỏa mãn.
$\Leftrightarrow \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right){{.9}^{f\left( x \right)}}+{{2.6}^{f\left( x \right)}}-\left( 2{{m}^{2}}+5m \right){{.4}^{f\left( x \right)}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right).{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{f\left( x \right)}}+2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{f\left( x \right)}}-2{{m}^{2}}-5m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m\le \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right).{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{f\left( x \right)}}+2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{f\left( x \right)}},\forall x\in \mathbb{R}$ (1)
Đặt $t=f\left( x \right)\ge 1,\forall \text{x}\in \mathbb{R}$. (1) thành: $2{{m}^{2}}+5m\le \left( {{t}^{2}}-1 \right){{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}+2{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}},\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$
Đặt $g\left( t \right)=\left( {{t}^{2}}-1 \right).{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}+2{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}},\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( t \right)=2t.{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}+\left( {{t}^{2}}-1 \right).{{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}\ln \dfrac{9}{4}+2.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}\ln \dfrac{3}{2}>0,\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$
Suy ra $g\left( t \right)\ge g\left( 1 \right)=3,\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m\le 3\Leftrightarrow -3\le m\le \dfrac{1}{2}$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$ nên có 4 giá trị nguyên thỏa mãn.
Đáp án D.