Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2\text{x}+3 \right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\infty ;-1 \right)$
B. $\left( -1;+\infty \right)$
C. $\left( -2;0 \right)$
D. $\left( -2;-1 \right)$
A. $\left( -\infty ;-1 \right)$
B. $\left( -1;+\infty \right)$
C. $\left( -2;0 \right)$
D. $\left( -2;-1 \right)$
Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+2\text{x}+3 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2\left( x+1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+2\text{x}+3 \right)$.
Do ${{x}^{2}}+2\text{x}+3={{\left( x+1 \right)}^{2}}+2\ge 2$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có:
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+1=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}+2\text{x}+3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2\text{x}+3=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng xét dấu ${g}'\left( x \right)$ như sau
Suy ra hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2\text{x}+3 \right)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -2;-1 \right)$ và $\left( 0;+\infty \right)$ nên chọn D.
Do ${{x}^{2}}+2\text{x}+3={{\left( x+1 \right)}^{2}}+2\ge 2$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có:
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+1=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}+2\text{x}+3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2\text{x}+3=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng xét dấu ${g}'\left( x \right)$ như sau
Suy ra hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+2\text{x}+3 \right)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -2;-1 \right)$ và $\left( 0;+\infty \right)$ nên chọn D.
Đáp án D.