Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a>0$. Giả sử rằng với mọi $x\in \left[ 0;a \right]$, ta có $f\left( x \right)>0$ và $f\left( x \right)f\left( a-x \right)=1$. Giá trị tích phân $I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}}$ là:
A. $I=\dfrac{a}{2}.$
B. $I=2a.$
C. $I=\dfrac{a}{3}.$
D. $I=a\ln \left( a+1 \right).$
A. $I=\dfrac{a}{2}.$
B. $I=2a.$
C. $I=\dfrac{a}{3}.$
D. $I=a\ln \left( a+1 \right).$
Từ giả thiết, suy ra $f\left( a-x \right)=\dfrac{1}{f\left( x \right)}$.
Đặt $t=a-x\Rightarrow dt=-dx$. Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=a \\
& x=a\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $I=-\int\limits_{a}^{0}{\dfrac{dt}{1+f\left( a-t \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dt}{1+\dfrac{1}{f\left( t \right)}}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( t \right)dt}{f\left( t \right)+1}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}$.
Suy ra $2I=I+I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}+\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}=\int\limits_{0}^{a}{dx}=a\Rightarrow I=\dfrac{a}{2}$.
Đặt $t=a-x\Rightarrow dt=-dx$. Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=a \\
& x=a\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $I=-\int\limits_{a}^{0}{\dfrac{dt}{1+f\left( a-t \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dt}{1+\dfrac{1}{f\left( t \right)}}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( t \right)dt}{f\left( t \right)+1}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}$.
Suy ra $2I=I+I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}+\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{f\left( x \right)+1}}=\int\limits_{0}^{a}{dx}=a\Rightarrow I=\dfrac{a}{2}$.
Đáp án A.