Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn: $f\left(-1 \right)=1$, $f\left(-\frac{1}{e} \right)=2$. Hàm số ${f}'\left(x \right)$ có đồ thị như hình vẽ sau:
Bất phương trình $f\left(x \right)<\ln \left(-x \right)+{{x}^{2}}+m$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \left(-1;-\frac{1}{e} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>0$.
B. $m>3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$.
C. $m\ge 3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$.
D. $m\ge 0$.
Bất phương trình $f\left(x \right)<\ln \left(-x \right)+{{x}^{2}}+m$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \left(-1;-\frac{1}{e} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>0$.
B. $m>3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$.
C. $m\ge 3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$.
D. $m\ge 0$.
Bất phương trình $f\left( x \right)<\ln \left( -x \right)+{{x}^{2}}+m\Leftrightarrow f\left( x \right)-\ln \left( -x \right)-{{x}^{2}}<m$.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\ln \left( -x \right)-{{x}^{2}}$.
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$ $\Leftrightarrow g\left( x \right)<m$, $\forall x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( -1;-\frac{1}{e} \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\frac{1}{x}-2x={f}'\left( x \right)-\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}$.
Với $x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& -\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$.
$\Rightarrow $ Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;-\frac{1}{e} \right)$.
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( -1;-\frac{1}{e} \right)$
Từ bảng biến thiên ta có $g\left( x \right)<m, \forall x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$ $\Leftrightarrow m\ge g\left( -\frac{1}{e} \right)$ $\Leftrightarrow m\ge f\left( -\frac{1}{e} \right)-\ln \left( \frac{1}{e} \right)-{{\left( -\frac{1}{e} \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow m\ge 3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$.
Vậy $m\ge 3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\ln \left( -x \right)-{{x}^{2}}$.
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$ $\Leftrightarrow g\left( x \right)<m$, $\forall x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( -1;-\frac{1}{e} \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\frac{1}{x}-2x={f}'\left( x \right)-\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}$.
Với $x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& -\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$.
$\Rightarrow $ Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;-\frac{1}{e} \right)$.
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( -1;-\frac{1}{e} \right)$
Từ bảng biến thiên ta có $g\left( x \right)<m, \forall x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)$ $\Leftrightarrow m\ge g\left( -\frac{1}{e} \right)$ $\Leftrightarrow m\ge f\left( -\frac{1}{e} \right)-\ln \left( \frac{1}{e} \right)-{{\left( -\frac{1}{e} \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow m\ge 3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$.
Vậy $m\ge 3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.