Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn: $f\left(-1 \right)=1$, $f\left(-\frac{1}{e} \right)=2$. Hàm số...

Bất phương trình .
Đặt .
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi , .
Xét hàm số trên .
Ta có .
Với ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& -\frac{1+2{{x}^{2}}}{x}>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)\Rightarrow g\left( x \right)\left( -1;-\frac{1}{e} \right)g\left( x \right)\left( -1;-\frac{1}{e} \right) Từ bảng biến thiên ta có \)">g\left( x \right)<m, \forall x\in \left( -1;-\frac{1}{e} \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( -\frac{1}{e} \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( -\frac{1}{e} \right)-\ln \left( \frac{1}{e} \right)-{{\left( -\frac{1}{e} \right)}^{2}}\Leftrightarrow m\ge 3-\frac{1}{{{e}^{2}}}m\ge 3-\frac{1}{{{e}^{2}}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.