Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $f'\left( x \right)$ có đồ thị như đường cong trong hình bên.
Tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình ${{x}^{2}}+4x-m\ge \dfrac{1}{2}f\left( 2x+4 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -3;-1 \right]$ là.
A. $m\ge -\dfrac{1}{2}f\left( -2 \right)-3.$
B. $m\le -\dfrac{1}{2}f\left( -2 \right)-3.$
C. $m>-\dfrac{1}{2}f\left( 2 \right)-3.$
D. $m\le -\dfrac{1}{2}f\left( 2 \right)-3.$
Tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình ${{x}^{2}}+4x-m\ge \dfrac{1}{2}f\left( 2x+4 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -3;-1 \right]$ là.
A. $m\ge -\dfrac{1}{2}f\left( -2 \right)-3.$
B. $m\le -\dfrac{1}{2}f\left( -2 \right)-3.$
C. $m>-\dfrac{1}{2}f\left( 2 \right)-3.$
D. $m\le -\dfrac{1}{2}f\left( 2 \right)-3.$
Đặt $t=2x+4,t\in \left[ -2;2 \right]\Rightarrow x=\dfrac{t-4}{2}$
Bất phương trình viết lại: $\dfrac{{{t}^{2}}}{4}-4-m\ge \dfrac{1}{2}f\left( t \right)$ nghiệm đúng $\forall t\in \left[ -2;2 \right]$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-16-4m\ge 2f\left( t \right)$ nghiệm đúng $\forall t\in \left[ -2;2 \right].$
$\Leftrightarrow 4m\le {{t}^{2}}-16-2f\left( t \right)$ nghiệm đúng $\forall t\in \left[ -2;2 \right]\left( 1 \right)$
* Đặt $g\left( t \right)={{t}^{2}}-16-2f\left( t \right),t\left[ -2;2 \right]\Rightarrow g'\left( t \right)=2t-2f'\left( t \right)$
Vẽ đồ thị $y=x;y=f'\left( x \right)$ trên cùng một hệ trục.
Ta thấy $f'\left( x \right)\ge x;\forall x\in \left[ -2;2 \right]$ nên:
$g'\left( t \right)=2t-2f'\left( t \right)\le 0,\forall t\in \left[ -2;2 \right]$ hay $g\left( t \right)$ là hàm nghịch biến trên $\left[ -2;2 \right].$
$\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 2 \right)=-12-2f\left( 2 \right)$
$\left( 1 \right)\Rightarrow 4m\le -12-2f\left( 2 \right)$
$\Rightarrow m\le -\dfrac{1}{2}f\left( 2 \right)-3.$
Bất phương trình viết lại: $\dfrac{{{t}^{2}}}{4}-4-m\ge \dfrac{1}{2}f\left( t \right)$ nghiệm đúng $\forall t\in \left[ -2;2 \right]$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-16-4m\ge 2f\left( t \right)$ nghiệm đúng $\forall t\in \left[ -2;2 \right].$
$\Leftrightarrow 4m\le {{t}^{2}}-16-2f\left( t \right)$ nghiệm đúng $\forall t\in \left[ -2;2 \right]\left( 1 \right)$
* Đặt $g\left( t \right)={{t}^{2}}-16-2f\left( t \right),t\left[ -2;2 \right]\Rightarrow g'\left( t \right)=2t-2f'\left( t \right)$
Vẽ đồ thị $y=x;y=f'\left( x \right)$ trên cùng một hệ trục.
Ta thấy $f'\left( x \right)\ge x;\forall x\in \left[ -2;2 \right]$ nên:
$g'\left( t \right)=2t-2f'\left( t \right)\le 0,\forall t\in \left[ -2;2 \right]$ hay $g\left( t \right)$ là hàm nghịch biến trên $\left[ -2;2 \right].$
$\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 2 \right)=-12-2f\left( 2 \right)$
$\left( 1 \right)\Rightarrow 4m\le -12-2f\left( 2 \right)$
$\Rightarrow m\le -\dfrac{1}{2}f\left( 2 \right)-3.$
Đáp án D.