Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta thấy miền giá trị của $f\left( x \right)$ là $\left( -\infty ;-2 \right]$.
Đặt $t=f\left( x \right)$, với $t\le -2$.
Do đó bất phương trình ${{36.12}^{f\left( x \right)}}+\left( {{m}^{2}}-5m \right){{.4}^{f\left( x \right)}}\le \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-4 \right){{.36}^{f\left( x \right)}}\quad \left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi bất phương trình ${{36.12}^{t}}+\left( {{m}^{2}}-5m \right){{.4}^{t}}\le \left( {{t}^{2}}-4 \right){{.36}^{t}}\quad \left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\le -2$.
Ta có: $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-5m \right).{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2t}}+36.{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\le \left( {{t}^{2}}-4 \right)$ $,\forall t\le -2$. (3)
Do $\left( 2 \right)$ đúng với $t=-2$ nên $81.\left( {{m}^{2}}-5m \right)+36.9\le 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+4\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 4$.
Ta thấy với $1\le m\le 4$ thì $-\dfrac{25}{4}\le {{m}^{2}}-5m\le -4$.
Lại có: $t\le -2\Rightarrow {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\ge 9$. Suy ra $\left( {{m}^{2}}-5m \right).{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\le -4.9=-36$ do đó $\left( {{m}^{2}}-5m \right).{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2t}}+36.{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\left( \left( {{m}^{2}}-5m \right).{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}+36 \right)\le 0$ $,\forall t\le -2$. (4)
Mà ${{t}^{2}}-4\ge 0, \forall t\le -2$. (5)
Từ (4) và ( 5) suy ra ( 3) đúng .
Với $m\in \left[ 1;4 \right]$ thì $\left( 2 \right)$ luôn đúng với mọi $t\le -2$ và $m\in \mathbb{Z}$ suy ra $m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$.
Vậy tích các giá trị bằng 24.