Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=f\left( \cos x \right)-2\cos x-m$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ thuộc khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ ?
A. $5$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $3$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=f\left( \cos x \right)-2\cos x-m$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ thuộc khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ ?
A. $5$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $3$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( \cos x \right)-2\cos x-m$ và trục hoành là
$f\left( \cos x \right)-2\cos x-m=0 \left( 1 \right)$
Đặt $t=\cos x$. Vì $x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ nên $t\in \left( 0,1 \right]$. Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: $f\left( t \right)-2t=m \left( 2 \right)$ với $t\in \left( 0;1 \right]$. Bài toán đã cho trở thành: Tìm giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm thuộc $\left( 0;1 \right]$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=f\left( t \right)-2t$, với $t\in \left( 0;1 \right]$. Ta có ${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-2$.
Nhận xét: Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, ta có hàm số nghịch biến trong $\left( 0;1 \right)$ và đạt cực trị tại $x=1$ nên ${f}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \left( 0;1 \right]$, suy ra ${f}'\left( t \right)\le 0, \forall t\in \left( 0;1 \right]$.
Do đó ${g}'\left( t \right)<0, \forall t\in \left( 0;1 \right]$.
Bảng biến thiên $g\left( t \right)$
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm thuộc $\left( 0;1 \right]\Leftrightarrow -4\le m<-1$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \left\{ -4;-3;-2 \right\}$. Vậy có $3$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
$f\left( \cos x \right)-2\cos x-m=0 \left( 1 \right)$
Đặt $t=\cos x$. Vì $x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ nên $t\in \left( 0,1 \right]$. Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: $f\left( t \right)-2t=m \left( 2 \right)$ với $t\in \left( 0;1 \right]$. Bài toán đã cho trở thành: Tìm giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm thuộc $\left( 0;1 \right]$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=f\left( t \right)-2t$, với $t\in \left( 0;1 \right]$. Ta có ${g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-2$.
Nhận xét: Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, ta có hàm số nghịch biến trong $\left( 0;1 \right)$ và đạt cực trị tại $x=1$ nên ${f}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \left( 0;1 \right]$, suy ra ${f}'\left( t \right)\le 0, \forall t\in \left( 0;1 \right]$.
Do đó ${g}'\left( t \right)<0, \forall t\in \left( 0;1 \right]$.
Bảng biến thiên $g\left( t \right)$
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm thuộc $\left( 0;1 \right]\Leftrightarrow -4\le m<-1$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \left\{ -4;-3;-2 \right\}$. Vậy có $3$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.