Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sin x \right)=3\sin x+m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0 ;\pi \right)$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $-9$.
B. $-10$.
C. $-6$.
D. $-5$.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sin x \right)=3\sin x+m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0 ;\pi \right)$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $-9$.
B. $-10$.
C. $-6$.
D. $-5$.
Đặt $t=\sin x$. Do $x\in \left( 0 ;\pi \right)$ nên $t\in \left( 0 ;1 \right]$.
Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình $f\left( t \right)=3t+m$ có nghiệm $t\in \left( 0 ;1 \right]$, cũng chính là khi và chỉ khi phương trình $f\left( x \right)=3x+m$ có nghiệm $x\in \left( 0 ;1 \right]$ (*).
Để ý thấy:
+ $f\left( x \right)=3x+m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $\Delta :y=3x+m$.
+ Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:y=3x+1$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $0$.
+ Đường thẳng ${{\Delta }_{2}}:y=3x-4$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $1$.
Từ đây ta thấy (*) $\Leftrightarrow $ $-4\le m<1$. Tức $S=\left\{ -4;-3;-2;-1;0 \right\}$
Vậy tổng các phần tử của $S$ là $-10$.
Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình $f\left( t \right)=3t+m$ có nghiệm $t\in \left( 0 ;1 \right]$, cũng chính là khi và chỉ khi phương trình $f\left( x \right)=3x+m$ có nghiệm $x\in \left( 0 ;1 \right]$ (*).
Để ý thấy:
+ $f\left( x \right)=3x+m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $\Delta :y=3x+m$.
+ Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:y=3x+1$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $0$.
+ Đường thẳng ${{\Delta }_{2}}:y=3x-4$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $1$.
Từ đây ta thấy (*) $\Leftrightarrow $ $-4\le m<1$. Tức $S=\left\{ -4;-3;-2;-1;0 \right\}$
Vậy tổng các phần tử của $S$ là $-10$.
Đáp án B.