Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

R

và có đạo hàm

f^{'} (x) = {(x - 12)}^{2022} (x^{2} - 2 x)

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m \in (- 2021; 2021)

để hàm số

y = f (x^{2} - 2022 x + 2021 m)

có 3 điểm cực trị dương?
A.

4038

.
B.

2021

.
C.

2020

.
D.

2019

.

Ta có:

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 12 \\ x = 0 \\ x = 2 \end{aligned}

. Bảng xét dấu

Do đó hàm số

y = f (x)

đạt cực trị tại

x = 0

và

x = 2

.
Xét

y = f (x^{2} - 2022 x + 2021 m)

có đạo hàm

y^{'} = (2 x - 2022) . f^{'} (x^{2} - 2022 x + 2021 m)

.

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 1011 \\ f^{'} (x^{2} - 2022 x + 2021 m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x^{2} - 2022 x + 2021 m = 0 \\ x^{2} - 2022 x + 2021 m = 2 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x^{2} - 2022 x = - 2021 m \\ x^{2} - 2022 x - 2 = - 2021 m \end{aligned} \end{aligned}

Xét các hàm số

g (x) = x^{2} - 2022 x

và

h (x) = x^{2} - 2022 x - 2

, với

x > 0

.

g^{'} (x) = 2 x - 2022

;

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1011

Bảng biến thiên:

Vậy, hàm số có 3 điểm cực trị dương

\Leftrightarrow [\begin{aligned} - 1011^{2} - 2 < - 2021 m \leq - 1011^{2} \\ - 2021 m \geq 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} \frac{1022121}{2021} \leq m < \frac{1022123}{2021} \\ m \leq 0 \end{aligned}

.
Kết hợp với giả thiết

\Rightarrow m \in {- 2020; - 2019; . . .; 0}

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có...