Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị trong hình dưới đây. Biết rằng diện tích các hình phẳng ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ lần lượt bằng $\dfrac{5}{2}$ và $\dfrac{1}{2}$. Tích phân $\int\limits_{\dfrac{1}{e}}^{1}{\dfrac{f\left( 3\ln x+2 \right)}{x}\text{d}x}$ bằng
A. $2$.
B. $1$.
C. $6$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
B. $1$.
C. $6$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
Xét $I=\int\limits_{\dfrac{1}{e}}^{1}{\dfrac{f\left( 3\ln x+2 \right)}{x}\text{d}x}$, đặt $t=3\ln x+2$ suy ra $dt=\dfrac{3}{x}dx$.
Đổi cận: $x=\dfrac{1}{e}\Rightarrow t=-1$ và $x=1\Rightarrow t=2$. Khi đó:
$I=\dfrac{1}{3}\int\limits_{-1}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t}=\dfrac{1}{3}\left( \int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t} \right)=\dfrac{1}{3}\left( {{S}_{1}}-{{S}_{2}} \right)=\dfrac{1}{3}.\left( \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{2}{3}$.
Đổi cận: $x=\dfrac{1}{e}\Rightarrow t=-1$ và $x=1\Rightarrow t=2$. Khi đó:
$I=\dfrac{1}{3}\int\limits_{-1}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t}=\dfrac{1}{3}\left( \int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t} \right)=\dfrac{1}{3}\left( {{S}_{1}}-{{S}_{2}} \right)=\dfrac{1}{3}.\left( \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án D.