Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên.
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $3f\left( 2{{\log }_{5}}x \right)+6=m$ có đúng $3$ nghiệm thực thuộc nửa đoạn $\left( \dfrac{1}{25};25 \right]$ bằng
A. $69$.
B. $57$.
C. $60$.
D. $66$.
A. $69$.
B. $57$.
C. $60$.
D. $66$.
Đặt $t=2{{\log }_{5}}x$.
Vì $x\in \left( \dfrac{1}{25};25 \right]$ nên $t\in \left( -4;4 \right]$ và mỗi giá trị $t\in \left( -4;4 \right]$ sẽ có một giá trị $x\in \left( \dfrac{1}{25};25 \right]$.
Khi đó bài toán trở thành tìm tổng tất cả các giá tri nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( t \right)=\dfrac{m-6}{3}$ có đúng $3$ nghiệm thực $t\in \left( -4;4 \right]$.
Phương trình: $f\left( t \right)=\dfrac{m-6}{3}$ có đúng $3$ nghiệm thực $t\in \left( -4;4 \right]$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1<\dfrac{m-6}{3}\le 1 \\
& \dfrac{m-6}{3}=2 \\
& \dfrac{m-6}{3}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3<m\le 9 \\
& m=12 \\
& m=15 \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 4;5;6;7;8;9;12;\left. 15 \right\} \right.$ nên tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ bằng $66$. ChọnD.
Vì $x\in \left( \dfrac{1}{25};25 \right]$ nên $t\in \left( -4;4 \right]$ và mỗi giá trị $t\in \left( -4;4 \right]$ sẽ có một giá trị $x\in \left( \dfrac{1}{25};25 \right]$.
Khi đó bài toán trở thành tìm tổng tất cả các giá tri nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( t \right)=\dfrac{m-6}{3}$ có đúng $3$ nghiệm thực $t\in \left( -4;4 \right]$.
Phương trình: $f\left( t \right)=\dfrac{m-6}{3}$ có đúng $3$ nghiệm thực $t\in \left( -4;4 \right]$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1<\dfrac{m-6}{3}\le 1 \\
& \dfrac{m-6}{3}=2 \\
& \dfrac{m-6}{3}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3<m\le 9 \\
& m=12 \\
& m=15 \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 4;5;6;7;8;9;12;\left. 15 \right\} \right.$ nên tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ bằng $66$. ChọnD.
Đáp án D.