Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}.$ Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ bằng
A. $g\left( 0 \right).$
B. $g\left( 1 \right).$
C. $g\left( -3 \right).$
D. $g\left( 3 \right).$
A. $g\left( 0 \right).$
B. $g\left( 1 \right).$
C. $g\left( -3 \right).$
D. $g\left( 3 \right).$
Ta có ${g}'\left( x \right)=2\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x-1 \right) \right]$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên $\Rightarrow \underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{min}} g\left( x \right)\in \left\{ g\left( 3 \right);g\left( -3 \right) \right\}$
Ta có $\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)dx}>\int\limits_{1}^{3}{-{g}'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)-g\left( 3 \right)\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<g\left( 3 \right)$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ bằng $g\left( -3 \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên $\Rightarrow \underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{min}} g\left( x \right)\in \left\{ g\left( 3 \right);g\left( -3 \right) \right\}$
Ta có $\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)dx}>\int\limits_{1}^{3}{-{g}'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)-g\left( 3 \right)\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<g\left( 3 \right)$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ bằng $g\left( -3 \right)$.
Đáp án C.